Одночлен - это выражение, представляющее собой произведение двух или более сомножителей, каждый из которых является числом, выраженным буквой, цифрами или степенью (с целым неотрицательным показателем):

2a , a 3 x , 4abc , -7x

Так как произведение одинаковых сомножителей можно записать в виде степени, то отдельно взятая степень (с целым неотрицательным показателем) также является одночленом:

(-4) 3 , x 5 ,

Так как число (целое или дробное), выраженное буквой или цифрами, можно записать в виде произведения этого числа на единицу, то любое отдельно взятое число тоже можно рассматривать как одночлен:

x , 16, -a ,

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена - это одночлен, у которого только один числовой множитель, который обязательно должен быть записан на первом месте. Все переменные стоят в алфавитном порядке и содержаться в одночлене только один раз.

Числа, переменные и степени переменных также относятся к одночленам стандартного вида:

7, b , x 3 , -5b 3 z 2 - одночлены стандартного вида.

Числовой множитель одночлена стандартного вида называется коэффициентом одночлена . Коэффициенты одночлена равные 1 и -1 обычно не пишут.

Если в одночлене стандартного вида нет числового множителя, то подразумевается, что коэффициент одночлена равен 1:

x 3 = 1 · x 3

Если в одночлене стандартного вида нет числового множителя и перед ним стоит знак минус, то подразумевается, что коэффициент одночлена равен -1:

-x 3 = -1 · x 3

Приведение одночлена к стандартному виду

Чтобы привести одночлен к стандартному виду надо:

1. Перемножить числовые множители, если их несколько. Возвести числовой множитель в степень, если у него есть показатель. Поставить числовой множитель на первое место.
2. Перемножить все одинаковые переменные, чтобы каждая переменная встречалась в одночлене только один раз.
3. Расположить переменные после числового множителя в алфавитном порядке.

Пример. Представьте одночлен в стандартном виде:

а) 3yx 2 · (-2)y 5 x ; б) 6bc · 0,5ab 3

Решение:

а) 3yx 2 · (-2)y 5 x = 3 · (-2)x 2 x y y 5 = -6x 3 y 6
б) 6bc · 0,5ab 3 = 6 · 0,5ab b 3 c = 3ab 4 c

Степень одночлена

Степень одночлена - это сумма показателей степеней всех входящих в него букв.

Если одночлен является числом, то есть не содержит переменных, то его степень считается равной нулю. Например:

5, -7, 21 - одночлены нулевой степени.

Следовательно, чтобы найти степень одночлена, нужно определить показатель степени каждой из входящих в него букв и сложить эти показатели. Если показатель буквы не указан, значит он равен единице.

Примеры:

Так как у x показатель степени не указан, значит он равен 1. Других переменных одночлен не содержит, значит его степень равна 1.

Одночлен содержит всего одну переменную во второй степени, значит степень данного одночлена равна 2.

3) ab 3 c 2 d

Показатель a равен 1, показатель b - 3, показатель c - 2, показатель d - 1. Степень данного одночлена равна сумме этих показателей.

Начальные сведения об одночленах содержат уточнение, что любой одночлен возможно привести к стандартному виду. В материале ниже мы рассмотрим этот вопрос подробнее: обозначим смысл данного действия, определим шаги, позволяющие задать стандартный вид одночлена, а также закрепим теорию решением примеров.

Значение приведения одночлена к стандартному виду

Запись одночлена в стандартном виде позволяет более удобно работать с ним. Зачастую одночлены задаются в нестандартном виде, и тогда появляется необходимость осуществления тождественных преобразований для приведения заданного одночлена в стандартный вид.

Определение 1

Приведение одночлена к стандартному виду – это выполнение соответствующих действий (тождественных преобразований) с одночленом с целью записи его в стандартном виде.

Способ приведения одночлена к стандартному виду

Из определения следует, что одночлен нестандартного вида представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней, при этом возможно их повторение. В свою очередь, одночлен стандартного вида содержит в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени.

Чтобы привести нестандартный одночлен в стандартный вид, необходимо использовать следующее правило приведения одночлена к стандартному виду :

• первым шагом нужно выполнить группировку числовых множителей, одинаковых переменных и их степеней;
• второй шаг – вычисление произведений чисел и применение свойства степеней с одинаковыми основаниями.

Примеры и их решение

Пример 1

Задан одночлен 3 · x · 2 · x 2 . Необходимо привести его к стандартному виду.

Решение

Осуществим группировку числовых множителей и множителей с переменной х, в результате заданный одночлен примет вид: (3 · 2) · (x · x 2) .

Произведение в скобках составляет 6 . Применив правило умножения степеней с одинаковыми основаниями, выражение в скобках представим, как: x 1 + 2 = x 3 . В результате получим одночлен стандартного вида: 6 · x 3 .

Краткая запись решения выглядит так: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .

Ответ: 3 · x · 2 · x 2 = 6 · x 3 .

Пример 2

Задан одночлен: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . Необходимо привести его в стандартный вид и указать его коэффициент.

Решение

заданный одночлен имеет в своей записи один числовой множитель: - 1 , осуществим его перенос в начало. Затем произведем группировку множителей с переменной а и множителей с переменной b . Переменную m группировать не с чем, оставляем в исходном виде. В результате перечисленных действий получим: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m .

Выполним действия со степенями в скобках, тогда одночлен примет стандартный вид: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m . Из этой записи мы легко определяем коэффициент одночлена: он равен - 1 . Минус единицу вполне возможно заменить просто знаком минус: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m .

Краткая запись всех действий выглядит так:

a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = (- 1) · (a 5 · a · a 2) · (b 2 · b) · m = = (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m

Ответ:

a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m , коэффициент заданного одночлена равен - 1 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Урок на тему: "Стандартный вид одночлена. Определение. Примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Электронное учебное пособие "Понятная геометрия" для 7-9 классов
Мультимедийное учебное пособие "Геометрия за 10 минут" для 7-9 классов

Одночлен. Определение

Одночлен - это математическое выражение, которое представляет собой произведение простого множителя и одной или нескольких переменных.

К одночленам относятся все числа, переменные, их степени с натуральным показателем:
42;  3;  0;  6 2 ;  2 3 ;  b 3 ;  ax 4 ;  4x 3 ;  5a 2 ;  12xyz 3 .

Довольно часто бывает трудно определить, относится ли данное математическое выражение к одночлену или нет. Например, $\frac{4а^3}{5}$. Это одночлен или нет? Чтобы ответить на этот вопрос надо упростить выражение, т.е. представить в виде: $\frac{4}{5}*а^3$.
Мы можем точно сказать, что данное выражение - одночлен.

Стандартный вид одночлена

При вычислениях желательно привести одночлен к стандартному виду. Это наиболее краткая и понятная запись одночлена.

Порядок приведения одночлена к стандартному виду следующий:
1. Перемножить коэффициенты одночлена (или числовые множители) и полученный результат поместить на первое место.
2. Выбрать все степени с одинаковым буквенным основанием и перемножить их.
3. Повторять пункт 2 для всех переменных.

Примеры.
I. Привести заданный одночлен $3x^2zy^3*5y^2z^4$ к стандартному виду.

Решение.
1. Перемножим коэффициенты одночлена $15х^2y^3z * y^2z^4$.
2. Теперь приведем подобные слагаемые $15х^2y^5z^5$.

II. Привести заданный одночлен $5a^2b^3 * \frac{2}{7}a^3b^2c$ к стандартному виду.

Решение.
1. Перемножим коэффициенты одночлена $\frac{10}{7}a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Теперь приведем подобные слагаемые $\frac{10}{7}a^5b^5c$.

Одночлены представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней. Числа, переменные и их степени тоже считаются одночленами. Например: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Одночлен 5aa2b2b можно привести в вид 20a^2b^2.Такой вид называется стандартным видом одночлена.То есть, стандартный вид одночлена - это произведение коэффициента (стоящего на первом месте) и степеней переменных. Коэффициенты 1 и -1 не пишут, но от -1 сохраняют минус. Одночлен и его стандартный вид

Выражения 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x являются произведениями чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называются одночленами. Одночленами также считают числа, переменные и их степени.

Например, выражения - 8, 35,y и y2 - одночлены.

Стандартным видом одночлена называется одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путем перемножения всех переменных и чисел, входящих в него. Приведем пример приведения одночлена к стандартному виду:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Например коэффициент одночлена -7x2y2 равен -7. Коэффициенты одночленов x3 и -xy считают равными 1 и -1, так как x3 = 1x3 и -xy = -1xy

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных, то есть является числом, то его степень считают равной нулю.

Например степень одночлена 8x3yz2 равна 6, одночлена 6x равна 1, одночлена -10 равна 0.

Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень

При умножении одночленов и возведении одночленов в степень используется правило умножения степеней с одинаковым основанием и правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.

Например

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6

Мы отметили, что любой одночлен можно привести к стандартному виду . В этой статье мы разберемся, что называют приведением одночлена к стандартному виду, какие действия позволяют осуществить этот процесс, и рассмотрим решения примеров с подробными пояснениями.

Навигация по странице.

Что значит привести одночлен к стандартному виду?

С одночленами удобно работать, когда они записаны в стандартном виде . Однако достаточно часто одночлены задаются в виде, отличном от стандартного. В этих случаях всегда можно перейти от исходного одночлена к одночлену стандартного вида, выполнив тождественные преобразования . Процесс проведения таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.

Обобщим приведенные рассуждения. Привести одночлен к стандартному виду – это значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.

Как привести одночлен к стандартному виду?

Пришло время разобраться с тем, как приводить одночлены к стандартному виду.

Как известно из определения, одночлены нестандартного вида представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней, причем, возможно, повторяющихся. А одночлен стандартного вида может содержать в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени. Теперь осталось понять, как произведения первого вида привести к виду вторых?

Для этого нужно воспользоваться следующим правилом приведения одночлена к стандартному виду , состоящим из двух шагов:

• Во-первых, выполняется группировка числовых множителей, а также одинаковых переменных и их степеней;
• Во-вторых, вычисляется произведение чисел и применяется .

В результате применения озвученного правила любой одночлен будет приведен к стандартному виду.

Примеры, решения

Осталось научиться применять правило из предыдущего пункта при решении примеров.

Пример.

Приведите одночлен 3·x·2·x 2 к стандартному виду.

Решение.

Сгруппируем числовые множители и множители с переменной x . После группировки исходный одночлен примет вид (3·2)·(x·x 2) . Произведение чисел в первых скобках равно 6 , а правило умножения степеней с одинаковыми основаниями позволяет выражение во вторых скобках представить как x 1 +2=x 3 . В итоге получаем многочлен стандартного вида 6·x 3 .

Приведем краткую запись решения: 3·x·2·x 2 =(3·2)·(x·x 2)=6·x 3 .

Ответ:

3·x·2·x 2 =6·x 3 .

Итак, для приведения одночлена к стандартному виду необходимо уметь проводить группировку множителей, выполнять умножение чисел, и работать со степенями.

Для закрепления материала решим еще один пример.

Пример.

Представьте одночлен в стандартном виде и укажите его коэффициент.

Решение.

Исходный одночлен имеет в своей записи единственный числовой множитель −1 , перенесем его в начало. После этого отдельно сгруппируем множители с переменной a , отдельно – с переменно b , а переменную m группировать не с чем, оставим ее как есть, имеем . После выполнения действий со степенями в скобках одночлен примет нужный нам стандартный вид , откуда виден коэффициент одночлена , равный −1 . Минус единицу можно заменить знаком минус: .

Дополнительно